PRODUIT SCALAIRE

PRODUIT SCALAIRE
( 8 questions traitées )
1 ) 1ere application ( 2 questions traitées )
2 ) Equations de plan (3 questions traitées )
3 ) Sphère et plan ( 3 questions traitées )
Sauf mention contraire explicite, l'espace est rapporté à un repère orthonormal :

S
EXERCICE 1 : Produit scalaire.

Soit A(3 , - 2 , 4 ), B ( - 2 , 1 , 3 ) et C( 1 , 1 , a )

a/ Comment choisir a pour que ABC soit un triangle rectangle en A ?
b/ Calculer alors la mesure en degrés de l'angle ABC.













SOLUTION :
a/ Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si et seulement


Les vecteurs



b/
Le cosinus de l'angle ABC se calcule









EXERCICE 2 : Equations de plan
On considère les plans P et Q d'équations respectives
2x - 4y + 3z + 5 = 0 et x - 2y + 3z -2 = 0.

a/ Vérifier que P et Q ne sont pas parallèles.
b/ Déterminer un système d'équations paramétriques de leur intersection D.
c/ Former une équation cartésienne du plan R passant par A( 2,-2,0 ) et perpendiculaire à P et à Q.
Méthode :
Le parallélisme ou l'orthogonalité de plans se décide au vu de vecteurs normaux à l'un et à l'autre.















SOLUTION :
a/ Les plans P et Q admettent pour



b/ Un vecteur directeur de l'intersection D de P et Q












c/
Le plan R passant par A et perpendiculaire à P et Q







EXERCICE 3 :sphère et plan
a/ On considère l'ensemble de point défini par :
x2 + y2 + z2 - 4x - 2y + 6z + 5 = 0.
a/Montrer que c'est une sphère S, dont on précisera le centre et le rayon.
b/ Montrer que le plan P d'équation
2x - y + 3z - 2 = 0 coupe S suivant un cercle.
c/ Préciser le centre et le rayon de ce cercle.