cours sur les puissances

Qu'est-ce qu'une puissance ?
Un nombre soumis à une puissance (ou exposant) se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique la puissance (ou exposant)
Exemples :72 = 7 7 = 49 (7 se multiplie par lui même)
se lit "sept au carré"
23 = 2 2 2 = 8 (2 se multiplie 3 fois par lui même)
se lit "deux au cube"
104= 10 10 10 10 = 10000 ( 10 se multiplie 4 fois par lui même)
se lit "dix exposant quatre" ou "dix puissance 4"
ATTENTION : Surtout ne pas confondre : 104 = 10000 et 10 4 = 40 (bien retenir qu'une puissance multiplie un nombre par lui même) ; de même faites attention aux carrés (souvent employés dans les calculs) : 72 n'est pas égal à 2 7 , mais 7 7
2 7 = 147 7 = 49
Ce n'est pas le même résultat tout de même !!!
Cas particuliers de puissances :
Puissance 1 :a1 = a ; ex : 151 = 15
Puissance nulle :a0 = 1 ; ex : 150 = 1
Puissance négative :a- n = 1/ an ; ex : 2-4 = 1/24 = 1/16
Puissances et nombres relatifs
Nous l'avons vu dans la rubrique correspondante, les nombres relatifs sont accompagnés d'un signe + ou -
S'il est positif, un nombre soumis à une puissance n sera toujours positif
ex : 10 4 = 10 000 ; 34 = 3 3 3 3 = 81 .....
S'il est négatif, un nombre soumis à une puissance n, subira la règle de multiplication des signes
J'apprends la règle :
Un nombre négatif sera toujours négatif, s'il est soumis à une puissance impaire (exposant 3, 5, 7,9 ....)
ex : (- 10) 3 = ( - 10) ( - 10) = (+ 100) ( - 10) = (- 1000)
Par contre, il deviendra positif s'il est soumis à une puissance paire (exposant 2, 4, 6, 8, 10 .....)
ex : (- 10) 4 = ( - 10) ( - 10) = (+ 100) ( - 10) = (- 1000) ( - 10) = + 10 000
C'est l'application de la règle - - = +
Cette règle définit une propriété utile en calcul :
un nombre au carré (2) est toujours positifun nombre au cube (3) conserve son signe
Distributivité des Puissances
Règle : une puissance se distribue (se calcule) sur chacun des termes où elle s'applique :

Ces deux propriétés sont très importantes, car elles vont beaucoup me servir dans mes calculs avec des carrés notamment ; je dois savoir qu'il faut que je les applique :
Aux termes en ( ou y, z, a ......) : ex : (2) 2 = 2 2 2 = 4 2 = 4 2
Aux racines carrées : ex : (22) 2 = 2 2 (2) 2 = 4 (2) 2 = 4 2 = 8
voir propriétés des racines carrées
Aux fractions : ex : ( ) 2 = =
Opérations avec les puissances
1/ Addition et soustraction de puissancesIl n'existe pas de règle particulière pour les additions ou les soustractions de puissances, chaque nombre devant être calculé avant d'être additionné ou soustrait
exemple : 22 + 34 + 51 - 42 = (2 2) + (3 3 3 3) + 5 - (4 4) = 4 + 81 + 5 - 16 = 742/ Multiplication et division de puissancesJ'apprends les formules suivantes et je les applique:
an ap = a (n+p)
ex : 23 24 = 2(3 + 4) = 27
(an)p = a (n p)
ex : (23)6 = 2(3 6) = 218
an / ap = a (n - p)

ex : = 2(3 - 6) = 2-3 ; 2-3 = = (cf propriété des puissances négatives)

Les puissances de 10
Règle :
Pour toute puissance positive n , on a :
10n = 1 suivi de n 0
Exemples :
103 = 1 000 (1 suivi de 3 zéro)106 = 1 000 000 (1 suivi de 6 zéro)etc .....
Pour toute puissance négative -n , on a :
10-n = = 0,0........1 (n chiffres apès la virgule dont le 1)
Exemples :
10-3 = 0,001(3 chiffres après la virgule dont le 1)10-6 = 0,000001 (6 chiffres après la virgule dont le 1)10-1 = 0,1 (1chiffre après la virgule dont le 1)etc .....
On utilise généralement des puissances de 10 pour éviter la multitude de zéro : dans un calcul par exemple, on préferera écrire 106 plutôt que 1 000 000. Les zéro, c'est embarassant !!
Exemple d'utilisation : Je simplifie la fraction par 104: j'utilise la propriété de calcul an/ ap = a (n-p) := 10 (7 - 4) = 10 (3)
Il reste 103 au numérateur : ma fraction devient :
Je simplifie la fraction par 5 : numérateur : 5 1 ; dénominateur : 5 3
103 = 1 000Fraction simplifiée sous sa forme irréductible :
On utilise également les puissances de 10 pour l'écriture scientifique d'un nombre
Qu'est-ce que l'écriture scientifique d'un nombre ?J'apprends la règle :
Ecrire un nombre en écriture scientifique c'est le mettre sous la forme d'un nombre à 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10.
Exemples :
123 : écriture scientifique : 1,23 1020,0035 : écriture scientifique : 3,5 10-3Méthode :2 choses élémentaires dans l'écriture scientifique d'un nombre :1. Je dois transformer mon nombre en un nombre à un chiffre non nul (0) avant la virgule - C'est ma 1ère étape :Pour n'importe quel nombre à mettre en écriture scientifique, je dois mettre une virgule après le 1er nombre 0
Exemple : Mettre en écriture scientifique les nombres : 125346 et 0,0002563
125346 : 1er chiffre 0 : 1 - Je mets une virgule après le 1
1,25346
0,0002563 : 1er chiffre 0 : 2 - Je mets une virgule après le 2
2,563
2. Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 - C'est ma 2è étape :Je regarde par quelle puissance de 10 je dois multiplier mes nombres pour arriver au nombre de départ :Règle :
Si je dois déplacer ma virgule vers la droite je multiplie par une puissance de 10 positive - Si je dois déplacer ma virgule vers la gauche je multiplie par une puissance de 10 négaitve. Dans les 2 cas, la puissance correspond au nombre de fois où je dois déplacer ma virgule

Mes exemples :
1,25346 :
Pour retrouver mon nombre de départ 125346, je dois déplacer ma virgule vers la droite : ma puissance de 10 sera positive
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois 12,53462 fois 125,3463 fois 1253,464 fois 12534,65 fois 125346
Je dois déplacer ma virgule 5 fois pour retrouver le nombre 125346
125346 = 1,25346 105
2,563 :
Pour retrouver mon nombre de départ 0,0002563, je dois déplacer ma virgule vers la gauche : ma puissance de 10 sera négative
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois 0,25632 fois 0,025633 fois 0,0025634 fois 0,0002563
Je dois déplacer ma virgule 4 fois pour retrouver le nombre 0,0002563
0,0002563 = 2,563 10-4
Facile non ????