cours sur les identités remarquables

Rappels : les identités remarquables : Pour tous les nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a - b)(a + b) = a² - b²




Les identités remarquables sont "des formules magiques", qui me servent pour mes exercices de développement et de factorisation : 3 formules au total à apprendre absolument par coeur : le principe des identités remarquables : pour un énoncé de développement ou de factorisation donné, un résultat tout fait - Extraordinaire non ??
Les formules
Développement
Factorisation
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
(a - b)2
=
a2 - 2ab + b2
(a + b) (a - b)
=
a2 - b2
2ab = 2 a b

Méthode d'utilisationLa méthode est simple :
Je fais un exercice de développement :Je regarde dans la colonne de gauche si mon expression à développer ressemble à l'une de mes 3 formules : si tel est le cas, il ne me reste qu'à écrire le développement correspondant (colonne de droite)Exemples d'identités remarquables à développer :
Exemple : Je dois développer (3 - 4 )2
Je suis en développement : je regarde dans la colonne de gauche à quelle identité remarquable mon expression correspond :
(a - b)2
Je regarde dans la colonne de droite, quel va être mon résultat développé :
a2 - 2ab + b2
J'applique le résultat à mon expression :
1. Je définis a et b : a = 3 ; b = 42. Je remplace a et b dans mon résultat :a2 - 2ab + b2 = (3)2- 2 3 4 + (4)23. Je calcule mon expression :(3)2 = 32 2 = 9 2 = 922 3 4 = 2 3 4 = 2 3 4 = 24 = 24(4)2 = 4 4 = 164. Je réécris mon expression avec les éléments calculés ; c'est le résultat final de mon développement
92 - 24 + 16 Remarque : j'aurais très bien pu m'en sortir en utilisant la distributivité de la multiplication :(3 - 4 )2 = (3 - 4 ) (3 - 4 )un nombre au carré est un nombre multiplié 2 fois par lui même : cf les puissancesJ'applique la méthode de la distributivité :
a. Je distribue 3 sur 3 et 4
3 3 = 3 3 = 3 3 = 9 2 = 923 -4 = 3 -4 = 3 -4 = -12 = -12
b. Je distribue -4 sur 3 et -4
-4 3 = -4 3 = -12 = -12-4 -4 = 16
Je réecris mon expression avec mes résultats
A = 92 - 12 -12 +16
c. J'utilise la propriété associative de l'addition et soustraction, et je regroupe les termes de même nature pour les calculer : je n'ai rien à modifier car le regroupement est déjà fait
Je calcule les termes en : -12 -12 = - 24
Je ne peux plus rien calculer car je n'ai pas la droit d'additionner ou soustraire des termes en 2 en et des nombres entiers.
A = 92 - 24 + 16Ouf !! Je trouve le même résultat : 2 méthodes différentes pour un même résultat : c'est cool non ?? Avouez quand même que la méthode des identités remarquables est plus simple et plus rapide !!! Cela vaut tout de même le coup de les comprendre et de les apprendre par coeur ???Vous trouverez d'autres exemples d'utilisation des identités remarquebles en développement dans la rubrique le développementJe fais un exercice de factorisation :Je regarde dans la colonne de droite si mon expression à développer ressemble à l'une de mes 3 formules : si tel est le cas, il ne me reste qu'à écrire la factorisation correspondante (colonne de gauche)Exemple d'identité remarquable à factoriser :
Exemple : Je dois factoriser l'expression à l'aide d'une identité remarquable : 162 - 36
Je suis en factorisation : je regarde dans la colonne de droite à quelle identité remarquable mon expression correspond :
il semblerait que l'expression soit du type a2 - b2
Je vérifie. Comment ? : en regardant si je peux déterminer mon a et mon b
Est-ce que je connais un nombre qui se multiplie par lui même pour donner 162 ?4 4 = 16 ; = 2a = 4
Est-ce que je connais un nombre qui se multiplie par lui même pour donner 36 ?6 6 = 36b = 6
162 - 36 = ( 4)2 - (6)2 : je suis bien en situation d'identité remarquableIl ne me reste plus qu'à écrire la factorisation correspondante : (a + b) (a - b) avec a = 4 et b = 6 ; c'est le résultat final de ma factorisation
A = ( 4 + 6) ( 4 - 6)En factorisation, je ne peux pas m'en sortir grâce à la distributivité : je suis obligée de connaître les formules des identités remarquables et savoir les utiliser : en effet, si je n'arrive pas à mettre en évidence une expression du type ................. .................. + - ................ ..............., ou si je ne trouve pas de facteur commun à mes expressions multipliées, je dois forcément me tourner vers les identités remarquables (voir rubrique la factorisation). Mais vous verrez qu'avec un peu d'entraînement, on arrive facilement à les reconnâitre, aussi bien en factorisation qu'en développement.
A faire : dès que j'ai un exercice de calcul (développement) ou de factorisation à faire,(en interro ou à la maison) je suis quasiment certaine que je vais devoir utiliser les identités remarquables ; aussi, je les note sur un coin de brouillon (puisque je les sais par coeur), de façon à les avoir sous les yeux constamment, et pouvoir choisir la formule qui convient à mon exercice.Indices pour repérer une identité remarquable :
En développement : une expression entre parenthèses au carré ou une multipication de 2 parenthèses comprenant les mêmes termes séparés par un signe différent (a + b) (a - b)En factorisation : une expression composée uniquement d'additions et/ou de soustractions, (pas une seule expression multipliée) et comportant des carrés